Comment utiliser la structure d’un exercice de maths CPGE type concours

Dans les gros exercices de maths, surtout en prépa ou dans le supérieur, les questions ne sont pas posées au hasard. Savoir lire leur ordre permet souvent de débloquer un exercice et de mieux choisir quoi travailler en priorité.

En maths de prépas, les questions d’un exercice ne sont jamais posées au hasard

Quand un étudiant de prépa BCPST, ECG, MPSI ou PCSI bloque sur un exercice de maths, il cherche souvent “la bonne idée” comme si elle devait tomber du ciel.

Il relit l’énoncé. Il regarde les formules du cours. Il essaie un calcul. Puis un autre. Et parfois il finit par se dire qu’il n’a “pas le niveau”.

En réalité, dans beaucoup de gros exercices du supérieur, surtout en prépa, en licence ou en école, il y a une aide, juste sous ses yeux : la structure de l’exercice.

L’ordre des questions importe certes, mais la numérotation aussi.

Un exercice découpé en :

• 1.a)
• b)
• c)

ne dit pas la même chose qu’un exercice découpé en :

• 1
• 2
• 3

Et pourtant, beaucoup d’étudiants lisent tout cela comme une liste de trois questions.

C’est une erreur.

Une sous-question est souvent un indice

Dans un exercice bien construit, une sous-question n’est pas seulement une étape administrative. C’est souvent un indice.

Si l’énoncé demande d’abord :

1.a) Montrer que telle fonction est croissante

puis :

1.b) En déduire une majoration

puis :

1.c) Conclure sur la convergence de la suite

il faut entendre quelque chose de très concret :

Pour faire 1.c), je dois probablement utiliser 1.b).
Pour faire 1.b), je dois probablement utiliser 1.a).

Ce n’est pas toujours vrai à 100 %, mais c’est très souvent une excellente hypothèse de travail.

Quand un étudiant bloque sur une question, je lui demande donc souvent :

“Qu’est-ce que la question précédente vient de te faire démontrer ? Et pourquoi l’énoncé t’aurait-il demandé cela juste avant ?”

Cette question paraît simple, mais elle débloque énormément de choses.

Ce que signifie vraiment la numérotation

Il faut apprendre à lire l’architecture de l’exercice.

Une question 1.c) ne flotte pas toute seule. Elle appartient à la partie 1. Elle dépend très probablement de l’idée construite dans 1.a) et 1.b).

Une question 2.a) ouvre peut-être une nouvelle étape, mais elle peut aussi réutiliser le résultat final de la partie 1.

Une question intitulée “En déduire” ou qui contient un « alors » est encore plus explicite : l’énoncé dit littéralement qu’il faut utiliser ce qui précède.

Donc, devant une question difficile, le premier réflexe ne devrait pas être :

“Quelle formule du cours puis-je appliquer ?”

mais plutôt :

“Qu’est-ce que l’exercice m’a déjà fait construire ?”

Les exercices de maths ne sont pas des puzzles désordonnés

Beaucoup d’étudiants ont l’impression que les exercices sont des pièges. Parfois, ils le sont un peu. Mais dans les sujets bien conçus, notamment les sujets de concours, il y a souvent une progression.

L’exercice vous emmène quelque part.

Il commence par des questions accessibles, qui installent les objets. Ensuite il introduit une propriété. Puis il demande de l’utiliser. Puis il pousse plus loin.

Bien sûr, certaines questions sont difficiles. Mais l’énoncé donne souvent des marches. Encore faut-il les voir.

C’est pour cela que je travaille beaucoup avec mes étudiants sur ce réflexe :

Avant de chercher une idée nouvelle, regarder ce que les questions précédentes ont déjà donné.

Ce n’est pas une astuce. C’est une méthode.

Exemple simple de raisonnement

Imaginons une question de ce type :

1.a) Montrer que pour tout x positif, f(x) ≥ 0.
1.b) En déduire que la suite (uₙ) est croissante.
1.c) Montrer que (uₙ) converge.

Si l’étudiant arrive directement à 1.c) et cherche un théorème au hasard, il peut tourner longtemps.

Mais s’il lit la structure, il voit immédiatement :

• 1.a) sert à établir une positivité ;
• 1.b) utilise cette positivité pour obtenir une croissance ;
• 1.c) va probablement utiliser le théorème : suite croissante et majorée, ou monotone et bornée.

La question 1.c) n’est donc pas isolée. Elle est presque annoncée par 1.a) et 1.b).

C’est cette lecture-là que beaucoup d’étudiants ne font pas spontanément.

Quand on est en difficulté, il faut aussi choisir ses combats

Il y a un autre point très important, surtout pour les étudiants qui sont en perte de vitesse.

Quand on a déjà du retard, quand on est fatigué, quand on a une moyenne basse ou qu’on se sent noyé dans la quantité de travail, il ne faut pas traiter tous les exercices comme s’ils avaient la même valeur.

Les questions de fin d’exercice sont souvent les plus dures.
Elles demandent parfois une idée fine, une synthèse de plusieurs résultats, ou un niveau de maîtrise que l’étudiant n’a pas encore.

Et surtout : elles ne rapportent pas forcément beaucoup plus de points.

Dans beaucoup d’évaluations, les élèves n’arrivent même pas jusqu’à ces questions. Ou alors ils y arrivent trop tard, sans lucidité, après avoir perdu beaucoup trop de temps avant.

Donc un étudiant qui a 5 de moyenne en maths en prépa n’a pas toujours intérêt à s’acharner sur les dernières questions des exercices les plus difficiles.

Il a d’abord besoin de reconstruire une base solide :

• savoir démarrer les exercices ;
• reconnaître les méthodes classiques ;
• rédiger proprement les questions accessibles ;
• gagner les points disponibles ;
• reprendre confiance.

Travailler plus ne veut pas toujours dire travailler mieux

Un étudiant sérieux peut passer des heures sur des questions trop difficiles pour lui à ce moment-là. Il travaille, oui. Mais il ne travaille pas forcément au bon endroit.

C’est très frustrant, parce qu’il a l’impression de faire des efforts, sans résultats visibles.

Dans ces cas-là, je préfère souvent alléger et cibler.

Par exemple, avec une élève de BCPST2 qui préparait Agro-Véto, nous avions regardé ensemble les devoirs et les exercices qu’elle devait travailler. Certains DM étaient très riches, avec des questions de niveau Agro-Véto mais aussi des questions beaucoup plus proches de l’ENS.

Or son objectif n’était pas l’ENS. Son objectif était Agro-Véto.

Nous avons donc décidé de ne pas tout traiter de la même façon. Je lui indiquais les questions vraiment prioritaires pour son concours : celles qui travaillaient les méthodes importantes, les raisonnements fréquents, les points qui pouvaient réellement tomber et qu’elle devait absolument maîtriser.

Ce n’était pas “faire moins” par paresse.

C’était travailler plus intelligemment.

Un programme allégé peut être beaucoup plus efficace

Quand un étudiant est débordé, je peux lui proposer un programme de travail allégé.

Cela veut dire que je regarde ses exercices, ses feuilles de TD ou ses DM, puis je lui indique :

• les exercices à faire absolument ;
• les questions prioritaires ;
• les questions utiles mais secondaires ;
• les questions trop difficiles pour le moment ;
• les questions de fin d’exercice à laisser de côté provisoirement.

Ce tri dépend toujours de la situation.

Un étudiant qui vise une très bonne école et qui a déjà un bon niveau n’a pas le même programme qu’un étudiant qui essaie d’abord de sortir la tête de l’eau.

Un élève qui est à 5 de moyenne en maths en prépa ne doit pas forcément passer son dimanche après-midi sur la dernière question d’un exercice très technique. Il doit d’abord sécuriser les questions qui lui permettront de remonter.

C’est souvent beaucoup plus rentable.

En résumé

Quand vous bloquez sur un exercice de maths, surtout en prépa ou dans le supérieur :

• regardez la numérotation ;
• utilisez les sous-questions comme des indices ;
• demandez-vous ce que la question précédente vient de construire ;
• ne traitez pas toutes les questions comme si elles avaient la même importance ;
• ne vous acharnez pas toujours sur les fins d’exercice ;
• adaptez votre travail à votre niveau et à votre objectif.

Travailler efficacement, ce n’est pas tout faire.

C’est faire ce qui vous fera vraiment progresser maintenant.